[플라즈마 물리][Plasma Physics]Debye Shielding 디바이 차폐

Example Problem: Debye Shielding
Consider a positive point charge immersed in a plasma as we discussed in the class. Show that the net charge in the Debye shielding cloud exactly cancels the test charge. Assume that the ions are fixed and that \(e\phi << KT_e\). Note that we assumed that ion distribution is similar to that of the electrons in the class.

Answer:

While deriving, we assume potential to be

\[\begin{aligned} \frac{e\phi}{KT_e} << 1 \quad \quad \quad n_i \simeq n_e\\ \lambda_D = \sqrt{\frac{\epsilon KT}{ne^2}}\\ \phi(r) = \frac{e}{4\pi\epsilon_0 r }e^{-\frac{r}{\lambda_D}}\end{aligned}\]

Assume \(\frac{m_i}{m_e} \rightarrow \infty\) so that ions are fixed; \(n_i(r)=n\). Further assume electrons obey the Boltzmann distribution.

\[\begin{aligned} f(u) &= A e^{\frac{\frac{-1}{2}mv^2 + q\phi}{KT_e}}\\ n_e(r) &= ne^{\frac{e\phi(r)}{K_B T}}\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \rho &= -e(n_i - n_e) \\ &=-e \left(n - ne^{\frac{e\phi(r)}{K_BT}} \right)\\ &= ne \left(e^{\frac{e\phi(r)}{K_BT}} - 1 \right)\\\end{aligned}\]

for \(\frac{e\phi}{KT_e} << 1\),

\[\begin{aligned} e^{\frac{e\phi(r)}{K_B T}} = 1 + \frac{1}{2}\frac{e\phi(r)}{K_B T} + ...\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \rho &= ne(1+\frac{e\phi(r)}{K_B T} - 1) \\ &=\frac{ne^2 \phi(r)}{K_B T} \\ &= \frac{\epsilon_0}{\lambda_D^2}\phi(r)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \int \rho dv &= Q \\ &= \int_V \frac{\epsilon_0}{\lambda_D^2}\frac{e}{4\pi\epsilon_0 r }e^{-\frac{r}{\lambda_D}} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi\\ &= \int \frac{4\pi \epsilon_0}{\lambda_D^2}\frac{e}{4\pi \epsilon_0} r e^{-\frac{r}{\lambda_D}}dr \\ &= \frac{e}{\lambda_D^2} \int_{0}^{\infty} r e^{-\frac{r}{\lambda_D}}dr \\ &= \frac{e}{\lambda_D^2} (\lambda_D^2 e^{-\frac{r}{\lambda_D}}-\lambda_D r e^{-\frac{r}{\lambda_D}}) =0\end{aligned}\]

On the last step, when \(r = \lambda_D\), charge becomes zero. Hence, the Debye sheilding cloud exactly cancels the test charge.

4차 산업혁명에 걸맞는 인터넷 기반 고등교육기관

이메일: ilkmooc@ilkmooc.kr

홈페이지주소: http://ilkmooc.kr

산동일크무크란? https://goo.gl/FnvqXd

[대학원-전자기학]Vector Calculus Problem 2

Problem 2: Prove \(-\nabla \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|}=\frac{\vec{r}-\vec{r}\prime}{|\vec{r}-\vec{r}\prime |^3}\)

Let \[\vec{r}=x_1\hat{x} + y_1\hat{y} + z_1\hat{z}\] \[\vec{r}\prime=x_2\hat{x} + y_2\hat{y} + z_2\hat{z}\] \[\zeta =(\vec{x_1}-\vec{x_2})^2+(\vec{y_1}-\vec{y_2})^2+(\vec{z_1}-\vec{z_2})^2\]

\[\nabla \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|} = \frac{\partial}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{z}\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|}\]

Let us consider only \(\hat{x}\) components. \[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\hat{x}\frac{1}{\zeta^{\frac{1}{2}}} &= \frac{1}{2}\zeta^{-\frac{3}{2}}\zeta\prime \nonumber \\ &=\frac{x_1 - x_2}{\zeta^{\frac{3}{2}}}\hat{x} \nonumber \\ &=\frac{x_1 - x_2}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|^3}\hat{x} \nonumber\end{aligned}\]

Same procedure occur for the other two component. When we add all, final result become \[-\nabla \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}\prime|}=\frac{\vec{r}-\vec{r}\prime}{|\vec{r}-\vec{r}\prime |^3}\]

4차 산업혁명에 걸맞는 인터넷 기반 고등교육기관

이메일: ilkmooc@ilkmooc.kr

홈페이지주소: http://ilkmooc.kr

산동일크무크란? https://goo.gl/FnvqXd

[대학원-전자기학]Vector Calculus Problem 1

Problem 1: Prove \(\nabla \times \frac{\vec{r}-\vec{r}\prime}{|\vec{r}-\vec{r}\prime |^3}=0\)

Answer:
\[\nabla \times \frac{\vec{r}-\vec{r}\prime}{|\vec{r}-\vec{r}\prime |^3}= \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{x_1-x_2}{|\vec{\eta}^3|} & \frac{y_1-y_2}{|\vec{\eta}^3|} & \frac{z_1-z_2}{|\vec{\eta}^3|} \end{vmatrix}\] Where \[\vec{r}=x_1\hat{x} + y_1\hat{y} + z_1\hat{z}\] \[\vec{r}\prime=x_2\hat{x} + y_2\hat{y} + z_2\hat{z}\] \[\vec{\eta} = \vec{r}-\vec{r}\prime\], \[|\vec{\eta}|=\sqrt{(\vec{x_1}-\vec{x_2})^2+(\vec{y_1}-\vec{y_2})^2+(\vec{z_1}-\vec{z_2})^2}\] \[\zeta =(\vec{x_1}-\vec{x_2})^2+(\vec{y_1}-\vec{y_2})^2+(\vec{z_1}-\vec{z_2})^2\] \[\begin{aligned} \nabla \times \frac{\vec{r}-\vec{r}\prime}{|\vec{r}-\vec{r}\prime |^3} &= (\frac{\partial}{\partial y}(\frac{z_1-z_2}{|\vec{\eta}^3|})-\frac{\partial}{\partial z}(\frac{y_1-y_2}{|\vec{\eta}^3|}))\vec{x} \nonumber \\ & -(\frac{\partial}{\partial x}(\frac{z_1-z_2}{|\vec{\eta}^3|}) - \frac{\partial}{\partial z}(\frac{x_1-x_2}{|\vec{\eta}^3|}))\vec{y} \nonumber \\ & +(\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y_1-y_2}{|\vec{\eta}^3|})-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{x_1-x_2}{|\vec{\eta}^3|}))\vec{z} \nonumber\end{aligned}\]

Since \[\frac{\partial}{\partial y}(\frac{z_1-z_2}{|\vec{\zeta}^{\frac{3}{2}}|})=-3\frac{(z_1 - z_2)(y_1 - y_2)}{|\vec{\zeta}^{\frac{5}{2}}|}\]

\[\frac{\partial}{\partial z}(\frac{y_1-y_2}{|\vec{\zeta}^{\frac{3}{2}}|})=-3\frac{(y_1 - y_2)(z_1 - z_2)}{|\vec{\zeta}^{\frac{5}{2}}|}\]

They cancel out each others. Same procedure occur for the other two components. Hence, \(\nabla \times \frac{\vec{r}-\vec{r}\prime}{|\vec{r}-\vec{r}\prime |^3}=0\)

4차 산업혁명에 걸맞는 인터넷 기반 고등교육기관

이메일: ilkmooc@ilkmooc.kr

홈페이지주소: http://ilkmooc.kr

산동일크무크란? https://goo.gl/FnvqXd

Google 블로그 Latex 작성하기

Google 블로그 Latex 작성하기

안녕하세요 산동일크무크의 "일크"입니다.

오늘은 Google 블로그에서 Latex를 사용하는 방법에 대해 알아봅시다!


저희 산동일크무크 홍보를 위해, 매일마다 한 문제씩, 수학 및 물리 문제에 대한 답안지를 공개중에 있습니다. 이때 답안지의 수식을 저는 주로 Latex를 이용하여 만드는데요, 이러한 Latex 코드를 어떻게 HTML로 옮길 수 있을까요?

검색해 보니 방법은 간단한것 같습니다. Google에 검색해보시면 바로 아래와 같은 제목의 내용을 확인하실 수 있습니다.

"How to incorporate TeX into a website?"

위 홈페이지에서 찾아보면, 아래와 같은 구문을 찾을 수 있습니다.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

<html> <head> <title>Mathedemo</title> <script type="text/x-mathjax-config">   MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script type="text/javascript"   src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"> </script> </head> Colored by Color Scripter

cs

그렇지만 이 코드를 삽입하면, 아래와 같은 오류 문구가 뜹니다.

지인의 말에 따르면, "https연결인데 내부 resource가 http로 가져오는거면 저렇게 뜸"이라고 하네요. (s붙으면 ssl 암호화 통신을 한다고 하네요.)

Mathjax 설명자료에 따르면 아래와 같이 사용하면 된다고 합니다.

홈페이지 주소: http://docs.mathjax.org/en/latest/start.html

1 2 3 4 5 6 7 8 9

<html> <head> <title>Mathedemo</title> <script type="text/x-mathjax-config">   MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); </script> <script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> </script> </head> Colored by Color Scripter

cs

Latex랑 MathJax는 100프로 호환은 안되는것 같습니다. 그래서 전 LATEX를 HTML로 바꾼후에 MathJax로 distribute합니다. (제 표현이 틀렸을수도 있습니다.)

아무튼, 아래 두개의 문제풀이를 올리며 경험한걸 간단히 정리해 봤습니다.

첫번째 코드로 만든 자료(http) : https://goo.gl/rSbJTR

두번째 코드로 만든 자료(https): https://goo.gl/HzYpH5



감사합니다.







4차 산업혁명에 걸맞는 인터넷 기반 고등교육기관

이메일: ilkmooc@ilkmooc.kr

홈페이지주소: http://ilkmooc.kr

산동일크무크란? https://goo.gl/FnvqXd

[대학원-전자기학]문제풀이 델타함수와 발산

Problem Prove that \[\nabla^2 (\frac{1}{r}) = -4\pi \delta(\vec{x})\] where \(r=|\vec{x}|\)
Answer

\[\begin{aligned} \nabla^2 \frac{1}{r} = \nabla \cdot (\nabla \frac{1}{r}) = \nabla \cdot (-\frac{1}{r^2}\hat{r}) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \left( \frac{-1}{r^2}\right) \right) \nonumber\end{aligned}\]
Hence, the intergral of \(\nabla^2 \frac{1}{r} = 0\)
\[\int_v \nabla^2 \frac{1}{r} dv = 0\]
However, when we use the divergence theorem, we get different result.
\[\begin{aligned} \int_v \nabla^2 \frac{1}{r} dv &= \oint_s -\frac{1}{r^2}\hat{r} d\vec{a} \nonumber \\ &=\oint_s - \frac{1}{r^2} r^2\sin\theta d\theta d\phi \nonumber \\ &= -4\pi \nonumber\end{aligned}\]
This problem arise in the origin. Hence, we introduce delta function to solve this problem.
\[\nabla^2 (\frac{1}{r}) = -4\pi \delta(\vec{x})\]
4차 산업혁명에 걸맞는 인터넷 기반 고등교육기관
이메일: ilkmooc@ilkmooc.kr
홈페이지주소: http://ilkmooc.kr
산동일크무크란? https://goo.gl/FnvqXd

[대학원-전자기학]문제풀이

Problem Prove the symmetry property of the Green’s function satisfying the Dirichlet boundary condition \[G(\vec{x},\vec{x}^{\prime}) = G(\vec{x}^{\prime}, \vec{x})\]

Refer to Jackson Problem (1.14)

Answer

Green function \(G(\vec{x},\vec{x}^{\prime})\) satisfies Dirichlet boundary conditions; bound region \(\Omega\) with boundary \(d\Omega\), \(G(\vec{x},\vec{x}^{\prime})=0 \quad \forall x^{\prime} \in \partial \Omega\)

\[\int_V (\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi)d^3x = \oint_s \left[ \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi }{\partial n}\right]da\]

Substitute \(\phi = G(\vec{x},\vec{y})\) and \(\psi = G(\vec{x}^{\prime},\vec{y})\).

\[\begin{aligned} \int_{\Omega} \left[ G(\vec{x},\vec{y})\nabla^2 G(\vec{x}^{\prime},\vec{y}) - G(\vec{x}^{\prime},\vec{y}) \nabla^2 G(\vec{x},\vec{y}) \right]d^3y =\nonumber \\ \int_{\partial \Omega}\left[ G(\vec{x}, \vec{y})\frac{\partial }{\partial n}G(\vec{x}^{\prime},\vec{y}) - G(\vec{x}^{\prime},\vec{y}) \frac{\partial}{\partial n} G(\vec{x},\vec{y}) \right]da \nonumber\end{aligned}\]

\(G(\vec{x}, \vec{x}^{\prime})\) satisfies Dirichlet B.C. Hence \(RHS=0\); \(\Phi\) is known on the surface and \(F\) can be chosen to make \(G_D(\vec{x},\vec{x}^{\prime}=0)\) Since \[\nabla^2 G(\vec{x},\vec{y}) = -4\pi \delta^3(\vec{x}-\vec{y})\]

\[\begin{aligned} \int_{\Omega} \left[ G(\vec{x},\vec{y})\nabla^2 G(\vec{x}^{\prime},\vec{y}) - G(\vec{x}^{\prime},\vec{y}) \nabla^2 G(\vec{x},\vec{y}) \right]d^3y = \nonumber \\ \int_{\Omega}\left[ -4\pi G(\vec{x},\vec{y}) \delta^3(\vec{x}^{\prime} - \vec{y})+G(x^{\prime},\vec{y}) 4\pi \delta^3(\vec{x}-\vec{y}) \right]d^3y \nonumber \\\end{aligned}\]

Finally

\[G(\vec{x},\vec{x}^{\prime}) = G(\vec{x}^{\prime}, \vec{x})\]

4차 산업혁명에 걸맞는 인터넷 기반 고등교육기관

이메일: ilkmooc@ilkmooc.kr

홈페이지주소: http://ilkmooc.kr

산동일크무크란? https://goo.gl/FnvqXd