[하루 한문제]20180506 아래와 같이 알파벳이 숫자로 암호화 된다고 합니다. 이 시스템의 문제는 무엇일까요?

[하루 한문제]

#암호학101 첫번째 문제

안녕하세요 오늘은 암호학101의 두번째 문제 시간입니다.

첫번째 문제는 잘 풀어보셨나요?

이번 문제도 상대적으로 쉬우리라 생각합니다.

그래도 방심하지마세요!

[문제 2]

아래와 같이 알파벳이 숫자로 암호화 된다고 합니다. 

A = 1, B = 2, C = 3, … Y = 25, Z = 26 

예를 들어 ILKMOOC는 912101315153 입니다. 

( I = 9, L = 12, K = 10, M = 13, O = 15, C = 3)

Q. 이 시스템의 문제는 무엇일까요? 

1. 숫자가 너무 길어진다. 

2. 해석하는 방법이 여러가지이다. 

3. 해독하기가 쉽다.

[정답 2번]

사실 1번과 3번이라고 생각하신 분들도

있으리라 생각합니다.

그렇지만, 저희가 원했던 대답은 정답은 2번입니다.

조금 고민하게 만드는것이

이번 문제의 목표였는데

성공했나요?

[플라즈마 물리]F.F. Chen Problem 1.5 Solution Debye Shielding

Problem In a strictly steady state situation both the ions and the electrons will follow the Boltzmann relation

\[n_i = n_0 e^{\frac{-q_i \phi }{KT_i}}\]

For the case of an infinite, transparent grid charged to a potential \(\phi\), show that the shielding distance is then given approximately by

\[\lambda_D^{-2} = \frac{ne^2}{\epsilon_0} \left( \frac{1}{KT_e} + \frac{1}{KT_i} \right)\]

Answer

\[\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} &=\frac{\rho}{\epsilon_0} = \frac{e}{\epsilon_0}(n_i - n_e) \nonumber \\ &= - \frac{e}{\epsilon_0} n_0 \left( e^{-\frac{e\phi}{KT_i}} - e^{\frac{e\phi}{KT_e}} \right) \nonumber \\ &= - \frac{e}{\epsilon_0} n_0 \left( 1 -\frac{e\phi}{KT_i} - 1 - \frac{e\phi}{KT_e} \right) \nonumber \\ \frac{d^2 \phi }{dx^2 }&=\frac{e^2 n_0}{\epsilon_0}\left( \frac{1}{KT_i} + \frac{1}{KT_e} \right) \phi \nonumber\end{aligned}\]

Hence,

\[\begin{aligned} \frac{1}{\lambda_D^2} = \frac{e^2 n_0}{\epsilon_0}\left( \frac{1}{KT_i} + \frac{1}{KT_e} \right) \nonumber\end{aligned}\]

\[\lambda_D = \sqrt{\left( \frac{\epsilon_0 K T_e T_i}{ne^2 (T_i + T_e)} \right)}\]

• \(T_i << T_e \quad \quad \lambda_D \simeq \sqrt{\left( \frac{\epsilon_0 K T_i}{ne^2} \right)}\)

• \(T_e << T_i \quad \quad \lambda_D \simeq \sqrt{\left( \frac{\epsilon_0 K T_e}{ne^2} \right)}\)

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[플라즈마 물리]Normalization Constant & Average Kinetic Energy

Problem The 3D Maxwellian distribution is given by
\[f(\vec{v}) = A_3 e^{\left( -\frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2KT} \right)}\]
with \[n = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(\vec{v})dv_x dv_y dv_z\]
(a) Show that the normalization constant is given by \[A_3 = n \left( \frac{m}{2\pi KT} \right)^{\frac{3}{2}}\]
(b) Show that the average kinetic energy is \[E_{av} = \frac{3}{2}KT\]
Answer (a)

Notice that
\[\begin{aligned} \label{eq_gauss} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned} n &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(\vec{v})dv_x dv_y dv_z \nonumber \\ &= A_3 \int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{m(v_x^2)}{2KT}}dv_x \int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{m(v_y^2)}{2KT}}dv_y \int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{m(v_z^2)}{2KT}}dv_z \nonumber \\ &= A_3 \left( \sqrt{\frac{ 2 K T \pi}{m}} \right)^{3}\end{aligned}\]
Hence,
\[A_3 = n \left( \frac{m}{2\pi KT} \right)^{\frac{3}{2}}\]
Answer (b)

Average energy can be calculated as
\[\begin{aligned} E_{av} &= \frac{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}mv^2 f(\vec{v})dv}{\int_{-\infty}^{\infty}f(\vec{v})dv} \nonumber \\ &=\frac{m}{2n}\int_{-\infty}^{\infty} (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) A_3 e^{ -\frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2KT} }dv\end{aligned}\]
The denominator is \(n\) as we calculated in previous problem. Notice that, \[\int x^2 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\]
If we calculate the first term of equation,
\[\begin{aligned} E_{av_x} &= \frac{m}{2n} \int_{-\infty}^{\infty} A_3(v_x^2 ) e^{ -\frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2KT} }dv_x \nonumber \\ &=\frac{m}{2n}n \left( \frac{m}{2\pi KT} \right)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \left( \frac{2 KT}{m} \right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\pi}\frac{2KT \pi}{m} \nonumber \\ &=\frac{1}{2}KT\end{aligned}\]
Hence, if we calculate \(v_y\) and \(v_z\) components, final result becomes \[E_{av} = \frac{3}{2}KT\]
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